欧洲杯初中数学竞赛，简称ECMC，是欧洲地区中学生数学竞赛的重要一环。该竞赛旨在提高中学生的数学素养和解决实际问题的能力，同时也是选拔数学人才的重要渠道。
竞赛内容主要涵盖初中数学知识点，如代数、几何、数论等。竞赛形式为笔试，考试时间通常为3小时，试卷分为选择题和非选择题两部分，难度逐渐递增。
以下是一道ECMC真题，供大家挑战数学智商：
已知$dfrac{x-1}{y}=dfrac{y-1}{x}=z$，求$dfrac{x}{y}$的值。
解题思路：
根据已知条件，可以列出以下两个方程：
$$begin{cases} x-1=zy y-1=zx end{cases}$$
将两个方程相加，得：
$$x+y-2=zy+zx$$
将$x+y$用$dfrac{x}{y}$表示，得：
$$dfrac{x}{y}+dfrac{y}{x}-2=dfrac{x}{y}cdot z+dfrac{y}{x}cdot z$$
化简后得：
$$dfrac{x}{y}+dfrac{y}{x}-2=2z$$
$$dfrac{x^2+y^2}{xy}-2=2z$$
将$dfrac{x}{y}$用$t$表示，得：
$$t^2-2zt-2+z=0$$
根据韦达定理，可得：
$$t_1+t_2=2z$$$$t_1cdot t_2=2-z$$
又因为$t_1cdot t_2=dfrac{x^2}{y^2}$，所以：
$$dfrac{x^2}{y^2}=2-z$$$$dfrac{x}{y}=pmsqrt{2-z}$$
因为$dfrac{x}{y}$是正数，所以：
$$dfrac{x}{y}=sqrt{2-z}=sqrt{2-dfrac{x^2+y^2}{xy}}$$
将$x-1=zy$和$y-1=zx$代入上式，可得：
$$dfrac{x}{y}=sqrt{dfrac{(z+1)^2}{z^2+1}}$$
经过化简，最终得到：
$$dfrac{x}{y}=boxed{sqrt{3}}$$
以上就是一道ECMC真题的解题思路，希望对大家挑战数学智商有所帮助。
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